\chapter{DEA}
\section{定义}
一般是$ m $个输入，以$ x $表示；$ n $个产出，以$ y $表示。可能的技术集$ T $就可以写成，
\[ T=\{(x,y)\in \mathbb{R}_+^m\times \mathbb{R}_+^n|\text{x can produce y}\} \]

如何估计技术$ T $？通常利用最小外推技术（minimal extrapolation principle）:
$ T^* $(估计的$ T $)是$ \mathbb{R}_+^m\times\mathbb{R}_+^n $中包含数据$ (x^k,y^k),k=1,\cdots,K $的最小子集，同时满足一些技术假设，如自由处置，某种凸性。

用数学可以表达如下，对于某个候选技术$ T'\in \mathbb{R}_+^m\times\mathbb{R}_+^n $，有，
\begin{itemize}
	\item (D): 包含数据$(x^k,y^k)\in T',k=1, \cdots,K$;
	\item (R): 满足某些正则假设；
\end{itemize}
	候选技术集为，
	\[ \mathcal{T}=\{T'\subset \mathbb{R}_+^m\times\mathbb{R}_+^n |T' \text{满足}(D) \text{and} (R)\} \]
	于是，
	\[ T^*=\bigcap_{T'\in\mathcal{T}}T' \]
	\section{DEA的技术}
	一些共同的通常的技术性假设如下：
	\begin{itemize}
		\item 自由处置（free disposability）:\[ (x,y)\in T,x'>x,y'\le y\Rightarrow(x',y')\in T \]
		\item 凸性：
		\item $ \gamma $规模收益：
		\[ (x,y)\in T,\kappa \in \Gamma(\gamma)\Rightarrow \kappa\cdot (x,y)\in T \]
		\item 可加性，可复制性：
	\end{itemize}

\textbf{DEA各类模型的区别往往在这些假设的不同：}
\begin{itemize}
	\item CRS: 原始常数规模收益（original constant return to scale）;
	\item DRS, IRS and VRS: 递减、递增和可变规模收益；
	\item FDH and FRH: 自由处置和自由复制
\end{itemize}

\section{DEA的数学表达和直观含义}
求解DEA实际上就是解决这么一个问题。譬如度量一个Farrell输入有效的公司$ o $，就是要找一个这样的常数$ E^o $,满足，
\[ E^o=E[(x^o,y^o);T^*]=\min \{E\in \mathbb{R}_+|(E\cdot x^o,y^o)\in T^*\} \]

然后看这个$ E $如果是1就意味着处于有效前沿，比1越小就意味着离有效前沿越远。那么如何求得这个$ E $,往往进行如下数学规划即可，
\begin{align*}
\min_{E,\lambda_1,\cdots,\lambda_K}&E\\
s.t.\qquad &E\cdot x^o_i\ge \sum_{k=1}^{K}\lambda^kx^k_i\qquad i = 1,\cdots,m\\
&y^o_j\le \sum_{k=1}^{K}\lambda^ky^k_j\qquad j= 1,\cdots,n\\
&\lambda\in \Lambda^K(\gamma)
\end{align*}

$ \Lambda^K(\gamma) $的不同就意味着各个约束的不同。这个最优规划的含义是非常明确的。各个公司会找到一个权重$ \lambda_k $，由这些权重构成一个参考公司的输入和输出。如果你想度量$ o $公司的效率，也就是找这么一个最小常数$ E $，使得该公司的要素在乘以这个$ E $之后一定要比参考公司的大，产出要比参考公司的小。否则就意味着该公司的效率仍然可以改进。当然这是输入有效的规划。对于输出有效，则把这个常数放到输出边，并使得这个常数最大，
\begin{align*}
\max_{F,\lambda_1,\cdots,\lambda_K}&F\\
s.t.\qquad & x^o_i\ge \sum_{k=1}^{K}\lambda^kx^k_i\qquad i = 1,\cdots,m\\
&Fy^o_j\le \sum_{k=1}^{K}\lambda^ky^k_j\qquad j= 1,\cdots,n\\
&\lambda\in \Lambda^K(\gamma)
\end{align*}

对$ \lambda $的不同约束就意味着不同的假设：
\begin{align*}
\Lambda^K(fdh)=\{\lambda\in\mathbb{N}_+^K|\sum_{k=1}^K\lambda_k=1\}\\
\Lambda^K(vrs)=\{\lambda\in\mathbb{R}_+^K|\sum_{k=1}^K\lambda_k=1\}\\
\Lambda^K(drs)=\{\lambda\in\mathbb{R}_+^K|\sum_{k=1}^K\lambda_k\le 1\}\\
\Lambda^K(idh)=\{\lambda\in\mathbb{R}_+^K|\sum_{k=1}^K\lambda_k\ge 1\}\\
\Lambda^K(crs)=\{\lambda\in\mathbb{R}_+^K|\sum_{k=1}^K\lambda_k\text{free}\}=\mathbb{R}_+^K\\
\Lambda^K(frh)=\{\lambda\in\mathbb{N}_+^K|\sum_{k=1}^K\lambda_k\text{free}\}=\mathbb{N}_+^K\\
\end{align*}

